3 класс: деление с остатком, примеры и пояснения

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b  с неполным частным c и остатком d.

Пример 1

Определить делимое, если при деление получим -21, неполное частное 5 и остаток 12.

Решение

Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b=−21, неполным частным с=5 и остатком d=12. Нужно обратиться к равенству a=b·c+d, отсюда получим a=(−21)·5+12. При соблюдении порядка выполнения действий умножим -21 на 5, после этого получаем (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ: -93.

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(a−d)c, c=(a−d)b и  d=a−b·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=a−b·c. Рассмотрим решение подробно.

Пример 2

Найти остаток от деления целого числа -19 на целое 3 при известном неполном частном равном -7.

Решение

Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d=a−b·c. По условию имеются все данные a=−19, b=3, c=−7.  Отсюда получим d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21). Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.

Ответ: 2.

Общий принцип деления в столбик

Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.

Решим пример \(\textcolor{red} {295383\div 34}\).

Далее записываем известные
компоненты деления следующим образом:

и начинаем вычисление:

1. Берем первое неполное делимое и пытаемся его разделить на делитель.

Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.

Записываем в частное первую найденную цифру
разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного
частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е.
вычитаем из неполного частного результат этого произведения.

В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor{red} {8\cdot 37=272}\). Записываем его под 295 и находим разницу: \(\textcolor{red} {295-272=23}\). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.

В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.

2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.

Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.

3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.

При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.

4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.

Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия \(\textcolor{red} {295383\div 34=8687}\) и 25 в остатке.

Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor{red} {25326\div 63}\).

Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.

Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.

1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.

Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать , поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.

Итак, запомните, что
каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда
и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно
записать нулевой результат этого действия.

126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления \(\textcolor{red} {25326\div 63=402}\).

Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.

Общее представление о делении с остатком

Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:

Определение 1

Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.  

Описание

Примеры на деление с остатком сами по себе не сложные, но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

Программа представляет собой тренажер для решения примеров на деление с остатком. В результате нужно найти частное от деления и остаток, делимое или делитель.

Вид задания и уровень сложности:

1. Примеры на деление с остатком в пределах 100 или в пределах 1000:Печатается 2 столбика по 20 примеров: в первом столбике нужно найти частное от деления и остаток;во втором столбике нужно найти делимое или делитель.
2. Цепочки примеров в пределах 100 или в пределах 1000:Делимое следующего примера рассчитывается как делитель * остаток от деления + частное предыдущего примера (Пример: 86 : 4 = 21 (ост.2); Делимое следующего примера = 4 * 2 + 21 = 29). В этом случае проверка каждого примера не требуется, достаточно сверить итоговый ответ.

Программа счета написана в Excel с помощью макросов. С помощью генератора примеров можно создать и распечатать готовые карточки с примерами на деление с остатком для детей разного возраста и уровня подготовки: деление на однозначное, двузначное и трехзначное числа. Поэтому карточки с примерами подойдут как для детей начальной школы (3 и 4 класс), так и для детей более старшего возраста.

Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры на деление с остатком, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

• • Деление с остатком на число (с выбором уровня сложности)
  • Умножение и деление по типам (табличное, внетабличное, круглых чисел)
  • Сложение и вычитание в столбик
  • Умножение в столбик
  • Деление в столбик
  • Умножение и деление в столбик
  • Порядок действий в пределах 1000 (все действия)
  • Сложные примеры на порядок действий
  • Выражения с именованными числами

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как ab=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:

Определение 3

Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.

Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

Пример 5

Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.

Решение

Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).

Ответ: делимое будет равно 79.

Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

Определение 4

Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.

У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

Пример 6

Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.

Решение 

Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.

Ответ: остаток от деления равен 7.

Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d)b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d)b.

Определение 5

Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.

Пример 7

Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.

Решение

Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13)52=20852=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).

Ответ: неполное частное равно 4.

Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d)c=b. Также будет верно b=(a−d)c. Сформулируем правило:

Определение 6

Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.

Возьмем пример решения такой задачи.

Пример 8

Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.

Решение

Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:

Ответ: делитель равен 25.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Задача

Решим интересную задачу. Семья Ивановых состоит из трех человек: отца, матери и мальчика Леши. Посчитайте, сможет ли семья за год накопить на совместный отдых ценой в 80 тыс.руб. , если отец зарабатывает в месяц 40 тыс., мать 30 тыс. Каждый из членов семьи тратит по 5 тыс. на личные нужды. На квартиру расходуется 25 тыс. рублей, 6 тыс. уходит на еду, а 7 тратится на школу и дополнительные занятия для ребенка. Отпуск родителей составляет все три летних месяца.

• Для начала посчитаем, сколько времени есть у семьи, чтобы накопить на отдых. В году 12 месяцев, из них 3 родители не работают, значит: 12-3=9
• Посчитаем общие затраты в месяц: 5*3+25+6+7=53 тыс.руб – тратится семьей в месяц.
• Расходы за рабочий год: 53*9=477 тыс.руб.
• Кроме того, эти три месяца отдыха семья также будет расходовать деньги. Логично, что на учебу деньги расходоваться не будут, так как у ребенка в это время также будут каникулы.

За время отпуска в месяц будет тратится: 5*3+25+6=46

• За весь отпуск потратится: 46*3=138 тыс.руб.
• Посчитаем расходы за год: 477+138=615 тыс.руб.-сумма расходов в рабочее время и отпуск.
• Теперь подсчитаем доход: 40+30=70 тыс.руб. – в месяц
• 70*9=630 тыс. в год
• Поделим доход на расход. Остаток – это будет тот излишек, который семья может позволить себе потратить на отпуск: 630:615=1 (ост.15).

Полученная 1 означает, что доходы семьи покрывают ее расходы, а остаток это тот излишек, который накапливается за год. Как мы видим, семье не хватит денег на летний отпуск и им придется провести его дома.

Что мы узнали?

Мы узнали о том, что деление является постоянной частью нашей жизни, узнали о существовании деления с остатком, определили алгоритм решения таких примеров и решили задачу.

1. Вопрос 1 из 5

Начать тест(новая вкладка)

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком

Как Вы уже заметили, деление натуральных чисел с остатком в общем случае является достаточно трудоемким процессом, и, определяя неполное частное и остаток, где-нибудь можно допустить ошибку. Поэтому, целесообразно ВСЕГДА выполнять проверку результата деления натуральных чисел с остатком. Сейчас мы разберемся, как такая проверка осуществляется, и рассмотрим решения характерных примеров.

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком проводится в два этапа. На первом этапе выясняется, не получился ли остаток больше, чем делитель. Если остаток превосходит делитель или равен делителю, то деление было выполнено неверно. Если остаток все же меньше, чем делитель, то проверка продолжается. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d. Если эта связь между делимым a, делителем b, неполным частным c и остатком d нарушена, то где-то была допущена ошибка. Если же равенство a=b·c+d является верным, то деление с остатком было выполнено правильно.

Пример.

Правильно ли было выполнено деление натуральных чисел с остатком, если получился такой результат 506:28=17 (ост. 30)?

Решение.

Мы видим, что остаток 30 получился больше, чем делитель 28. Поэтому, деление с остатком было выполнено неправильно.

Ответ:

нет.

Пример.

При делении натурального числа 121 на натуральное число 13 было получено неполное частное 9 и остаток 5. Выполните проверку результата.

Решение.

Очевидно, что остаток 5 меньше, чем делитель 13. Поэтому переходим ко второму этапу проверки.

В этом примере a=121, b=13, c=9, d=5. Проверим, справедливо ли равенство a=b·c+d. Для этого вычислим значение выражения b·c+d. Имеем, b·c+d=13·9+5=117+5=122. Таким образом, равенство a=b·c+d не выполняется, так как 121≠122. Следовательно, деление с остатком было проведено неправильно.

Пример.

В результате деления натуральных чисел 5 998 и 111 было получено неполное частное 54 и остаток 4. Является ли полученный результат правильным?

Решение.

Выполним проверку. Очевидно, остаток 4 меньше, чем делитель 111. Поэтому переходим к следующему этапу проверки.

В этом примере a=5 998, b=111, c=54, d=4. Вычислим значение выражения b·c+d. Имеем 111·54+4=5 994+4=5 998. Таким образом, равенство a=b·c+d является верным. Следовательно, при делении с остатком был получен правильный результат.

Ответ:

да.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Как делить в столбик четырехзначные, многозначные большие числа, многочлены на многочлены: примеры, объяснение

на доске решены примеры на деление столбиком трёх- и более значных чисел

В случае деления четырёхзначного числа на любое, которое содержит до 4 порядков одновременно, обратите внимание ребёнка на нюансы:

• определение правильного количества порядков после действия деления. Например, в примере 6734:56 должно получится двузначное целое число в графе «частное», а в примере 8956:1243 — однозначное целое,
• появление нулей в частном. Когда в ходе решения при переносе следующего числа делимого результат оказывается меньше делителя,
• проверку полученного результата посредством выполнения действия умножения. Этот нюанс актуален для деления больших чисел без остатка. Если последний присутствует, то советуйте ребёнку проверить себя и ещё раз разделить числа в столбик.

Ниже пример решения.

алгоритм деления столбиком четырёхзначного числа

пример деления столбиком четырёхзначного числа на двузначное

Для больших многозначных чисел, которые делятся на конкретные значения меньше или равные им по количеству знаков, актуальны все алгоритмы, рассмотренные выше.

Ребёнку следует быть особенно внимательным в таких случаях и правильно определять:

• количество знаков у частного, то есть результата
• цифры у делимого для первого действия
• правильность переноса остальных чисел

примеры деления столбиком многочленов

При совершении действия деления над многочленами обращайте внимание детей на ряд особенностей:

• у действия может быть остаток либо отсутствовать. В первом случае запишите его в числителе, а делитель в знаменателе,
• для совершения действия вычитания дописывайте в многочлен недостающие степени функции, умноженные на ноль,
• совершайте преобразование многочленов путём выделения повторяющихся дву-/многочленов. Тогда их сократите и получится результат без остатка.

Ниже ряд подробных примеров с решениями.

примеры деления многочленов в столбик

Сложнее всего детям даются задачи на трехзначные и четырехзначные числа. Четверокласснику тяжело оперировать тысячами и сотнями тысяч. У школьника возникают следующие проблемы:

1. Не может определить неполное число делимого для первого действия. Вернитесь к изучению разрядов натуральных чисел, поработайте над развитием внимания малыша.
2. Пропускает 0 в записи частного. Это самая распространенная проблема. В результате у ребенка получается число на несколько разрядов меньше правильного. Чтобы избежать этой ошибки, нужно распечатывать памятку с последовательностью действий в примерах, где в середине частного есть нули. Предложите ребенку тренажер с такими заданиями для отработки навыка.

При обучении решению задач с крупными числами действуйте поэтапно:

1. Объясните, что такое неполное делимое и зачем его выделять.
2. Потренируйтесь в поиске делимого устно без последующего решения задач. Например, дайте детям такие задания:

Найдите неполное частное в примерах: 369:28; 897:12; 698:36.

1. Теперь приступайте к решению на бумаге. Запишите столбиком: 1068:89.
2. Сначала нужно отделить неполное делимое. Можно использовать запятую сверху над числами.

106’8:89

1. Подбирайте частное на отдельном листочке или посчитайте в уме.
2. Распишите результат.
3. Внимательно отнимайте цифры от делимого. Следите за тем, чтобы результат после вычитания был меньше делителя.
4. Продолжайте деление до конца, пока не получится 0.
5. Придумайте еще несколько похожих примеров без остатка. Степень сложности увеличивайте постепенно.

Примечания

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
2. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. ; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
3. ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
4. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
5. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
6. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

Общие сведения

Деление с остатком — разновидность арифметической операции, которая также состоит из делимого и делителя, но результат ее выполнения записывается в виде целой части и некоторого значения. Математическая запись выглядит следующим образом: 4 (+1) или 5 (-1). Следует отметить, что в алгебре встречаются два вида представления результата с остатком:

1. Положительным.
2. Отрицательным.

В первом случае запись имеет такой вид: 36 (+1). Если рассмотреть операцию деления «73/2», то, зная частное и делитель, можно вычислить искомое значение. Для этого нужно умножить частное на делитель, а затем к полученному произведению прибавить остаток, т. е. 36*2+1=73. Положительная форма представления применяется довольно часто и считается наиболее распространенной.

Однако существует и другой вид представления остатка — отрицательный. Его суть заключается в необходимой подстройке частного. Например, для написания компьютерной программы или удобной записи какого-либо параметра физического явления. Например, при делении 71 на 2 результат можно записать в положительной и отрицательной формах, т. е. 71/2=35 (+1) и 71/2=36 (-1) соответственно.

При выполнении обратной конвертации искомая величина не изменяется, т. е. 35*2+1=71 и 36*2−1=71. Иными словами, обе формы представления применяются для удобства записи. Каждый сам определяет тип частного с остатком и использует его в конкретной ситуации.

Пример с умножением

Одна из самых трудных тем, с которой сталкивается 3 класс, — деление с остатком. Примеры могут быть сложными, особенно когда требуются дополнительные расчеты, записываемые в столбик.

Допустим, необходимо разделить число 190 на 27 с получением минимального остатка. Попробуем решить задачу, пользуясь умножением.

Подберем число, которое при умножении будет давать цифру, максимально приближенную к числу 190. Если умножить 27 на 6, получим цифру 162. Вычтем из 190 число 162, остаток будет 28. Он получился больше, чем исходный делитель. Следовательно, число шесть не подходит для нашего примера в качестве множителя. Продолжим решение примера, взяв для умножения число 7.

Умножая 27 на 7, мы получим произведение 189. Далее проведем проверку правильности решения, для этого вычтем из 190 полученный результат, то есть отнимем число 189. Остатком будет 1, что явно меньше 27. Именно так решаются сложные выражения в школе (3 класс, деление с остатком). Примеры всегда предусматривают запись ответа. Все математическое выражение можно оформить так: 190:27=7 (остаток 1). Подобные вычисления можно производить и в столбик.

Именно так осуществляет 3 класс деление с остатком. Примеры, приведенные выше, помогут разобраться в алгоритме решения подобных задач.

Подбор неполного частного

При делении данных натуральных чисел a и b с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.

Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел , 1, 2, 3, … Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.

Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c, задающее , а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).

Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a и делитель b нам известны изначально, в качестве неполного частного c мы последовательно принимаем числа , 1, 2, 3, …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c является остатком от деления.

Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 267 на 21.

Решение.

Подберем неполное частное. В нашем примере a=267, b=21. Будем последовательно придавать c значения , 1, 2, 3, …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем 21.

При c=0 имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267 (сначала выполняется умножение натуральных чисел, а затем – вычитание, об этом написано в статье порядок выполнения действий). Полученное число больше, чем 21 (при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.

При c=1 имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Так как 246>21, то продолжаем процесс.

При c=2 получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Так как 225>21, то двигаемся дальше.

При c=3 имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Так как 204>21, то продолжаем подбор.

Далее по аналогии вычисляем значения d=a−b·c при c=4, 5, 6, …, 11.

При c=12 получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Получили число 15, которое меньше, чем 21, поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12, при этом остаток d получился равным 15.

Ответ:

267:21=12 (ост. 15).